In this article, we study the expected subword complexity of random words and some of its properties.

本篇文章研究了随机字符串期望的本质不同子串个数及其相关的性质。

引子

随机，万恶之源。你做的题的数据多半是随机造的，也有能被随机乱搞过去的题，有的题标程就是随机，有的题就是出题人随机想到的 idea… 不得不说，OI 和随机还真扯不开关系。现在不妨让我们一起探索其不为大多数人所知的一面。

给定字符串 $S$，每一位额外有权值 $v_i$，求有多少对 无序的 本质相同但出现位置不同的子串（右端点分别为 $r_1,r_2$）满足 $L\le (v_{r_1}\oplus v_{r_2})+len\le R$，其中 $L$、$R$ 为给定参数。答案对 $998244353$ 取模。

$1\le |S|,v_i,L,R\le 10^5$

记一张无向图的连通块集合 $f(G)$ 为这张图所有极大连通块的大小形成的任意顺序的序列，要求对所有 $k\in [0,K]$ 求：

$$ \sum_{G\in S(n)}\frac{\sum_{i=1}^{|f(G)|}{f(G)_i^k}}{\left(\sum_{i=1}^{|f(G)|}f(G)_i\right)^k} $$

$S(n)$ 为所有大小为 $n$ 的无向图形成的集合。答案对 $998244353$ 取模。

$1\le n,K\le 2\cdot 10^5$

记一张无向图的连通块集合 $f(G)$ 为这张图所有极大连通块的大小形成的任意顺序的序列，要求对所有 $k\in [0,K]$ 求：

$$ \sum_{G\in S(n)}\frac{\sum_{i=1}^{|f(G)|}{f(G)_i^k}}{\left(\sum_{i=1}^{|f(G)|}f(G)_i\right)^k} $$

$S(n)$ 为所有大小为 $n$ 的无向图形成的集合。答案对 $998244353$ 取模。

$1\le n\le 2\cdot 10^5$，$0\le K\le 5000$

一个无穷的地图，行列从 0 开始标号。$(i,j)$ 可以通过当且仅当 $(i\&j)=0$。同时地图中还有 $n$ 个炸弹。现在给出两个格子，保证可以通过，问从一个格子走到另一个格子至少需要走多少步，且在步数最少的情况下至少需要拆除哪些炸弹。

$1\le n\le 2\cdot 10^5$，$0\le x,y\le 10^{18}$

给出 一个生成括号序列的算法 和一个长度为 $2n$ 的合法括号序列，问这个括号序列通过这种算法被生成的概率。答案对 $998244353$ 取模。

$1\le n\le 5\cdot 10^5$

给你一张 $n\times m$ 的二维地图，每个点可以是 .（空地）、o（水滴）和 x 电子元件。给出重力方向，问是否有水滴会流到电子元件上。

$1\le n,m\le 100$

一年来真的是发生了很多事…