引子

随机，万恶之源。你做的题的数据多半是随机造的，也有能被随机乱搞过去的题，有的题标程就是随机，有的题就是出题人随机想到的 idea… 不得不说，OI 和随机还真扯不开关系。现在不妨让我们一起探索其不为大多数人所知的一面。

记一张无向图的连通块集合 $f(G)$ 为这张图所有极大连通块的大小形成的任意顺序的序列，要求对所有 $k\in [0,K]$ 求：

$$ \sum_{G\in S(n)}\frac{\sum_{i=1}^{|f(G)|}{f(G)_i^k}}{\left(\sum_{i=1}^{|f(G)|}f(G)_i\right)^k} $$

$S(n)$ 为所有大小为 $n$ 的无向图形成的集合。答案对 $998244353$ 取模。

$1\le n,K\le 2\cdot 10^5$

记一张无向图的连通块集合 $f(G)$ 为这张图所有极大连通块的大小形成的任意顺序的序列，要求对所有 $k\in [0,K]$ 求：

$$ \sum_{G\in S(n)}\frac{\sum_{i=1}^{|f(G)|}{f(G)_i^k}}{\left(\sum_{i=1}^{|f(G)|}f(G)_i\right)^k} $$

$S(n)$ 为所有大小为 $n$ 的无向图形成的集合。答案对 $998244353$ 取模。

$1\le n\le 2\cdot 10^5$，$0\le K\le 5000$

给出 一个生成括号序列的算法 和一个长度为 $2n$ 的合法括号序列，问这个括号序列通过这种算法被生成的概率。答案对 $998244353$ 取模。

$1\le n\le 5\cdot 10^5$

定义两棵二叉树的大小关系：

• 若它们皆为空，则相等；
• 若它们的大小不同，则大小更小的更小；
• 若它们的左子树不同，则左子树小的更小；
• 否则其大小关系等价于它们右子树的大小关系。

给你一棵二叉树，问有多少二叉树比它小。

$1\le n\le 10^6$

引子

在介绍 Mivik 展开之前，我们先来看看康托展开。